Aby byla práce s touto stránkou příjemnější, využíváme soubory cookies.
? 

Odborné doporučení ČSpA č. 1

Printed from https://www.actuaria.cz/doporuceni-1.html

Stanovení bezrizikové výnosové křivky

Právní normy a směrnice:

  • Zákon č. 363/1999 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů
  • Zákon č. 353/2001 Sb., novela zákona o účetnictví, ve znění pozdějších předpisů
  • Vyhláška č. 502/2002 Sb. pro účetní jednotky, které jsou pojišťovnami, ve znění pozdějších předpisů
  • Odborná směrnice ČSpA č. 3 (Vydání č. 1 schválené dne 22. 9. 2003)

Vydání č. 1 schválené dne 7.12.2004.

 

Odborné doporučení se zabývá stanovením křivky bezrizikových úrokových měr pro použití v testu postačitelnosti technických rezerv životních pojištění.

Toto odborné doporučení popisuje jeden konkrétní postup stanovení bezrizikové úrokové křivky a za určitých okolností může vyžadovat úpravy. Pojistný matematik zváží všechny známé okolnosti a navrhne odpovídající metodu a vstupní předpoklady podle svého nejlepšího uvážení („aktuárský úsudek“).

1. Vstupní data

1.1. Data o tržních úrokových měrách úrokových swapů (IRS, Interest Rate Swap) získáme z Bloombergu. Data jsou získána z uzavíracích hodnot ke dni ocenění, střední kurz, kalendářní konvence Act/360, měna CZK, kupónové sazby; pokud dnem ocenění není obchodní den, použijí se data k poslednímu obchodnímu dni bezprostředně předcházejícímu den ocenění. Takto získané tržní kupónové sazby označíme ctM,Act/360, kde t značí maturitu příslušného úrokového swapu.

1.2. V současnosti se na trhu kotují následující maturity IRS: 1Y, 2Y, ..., 10Y, 12Y, 15Y a 20Y, přičemž hodnoty 12Y a 20Y lze považovat pouze za indikativní.

2. Kalendářní konvence

2.1. Před samotným odvozením spotových bezrizikových úrokových měr z dat dostupných na trhu je nutné tato data nejprve upravit. Korunové úrokové swapy se standardně kotují na bázi Actual/360, tj. pro získání ročních sazeb přenásobíme danou kotovanou sazbu zlomkem:

VZOREC

kde je Ni počet kalendářních dní v i -tém roce počítaném ode dne ocenění.

3. Nelson-Siegel

3.1. Pro dopočtení chybějících hodnot na výnosové křivce (tj. 11Y, 13Y, 14Y, 16Y, 17Y, 18Y, 19Y a nad 20Y) využijeme funkčního předpisu, který navrhli Nelson a Siegel [1987]. Předpokládali, že okamžitou forwardovou křivku lze popsat pomocí rovnice:

f= β0 + β1e-t/γ + β2t/γe-t/γ

kde β0, β1, β2 a γ jsou parametry ovlivňující tvar křivky. Odpovídající spotová křivka (pro spojitě úročené sazby) má tvar:

V případě aplikace na výnosovou křivku s ročním úročením je třeba použít přepočet rt = eYt - 1, kde rt  je odpovídající bezkupónová spotová sazba na dobu t -let s ročním úročením.

3.2. Parametry β0, β1, β2 a γ odhadneme numericky s využitím nelineární metody nejmenších čtverců. Za startovací hodnoty pro numerický algoritmus zvolíme β0 = c20M, β1 = c1M - c20M, β2 = 0 a γ = 2.

3.3. Na krátkém konci použijeme pozorovaná tržní data. Pro delší doby potřebujeme tato data dopočítat tak, aby co nejlépe (hladce) navazovala na poslední použité pozorované hodnoty, a to v případě spotových i (více citlivých) dopočtených forwardových sazeb. Proto použijeme pro jednotlivé reziduální čtverce vhodně volené váhy s cílem lepšího proložení na delším konci výnosové křivky:

wt = (tκ)δ, kde volíme δ = 3 a κt = 2/5 pro t je 12 nebo 20, jinak κt = 1.

3.4. Nyní přistoupíme k samotnému proložení:

(i) S využitím počátečních hodnot spočteme dle vztahu spojitě úročené spotové sazby na dobu t = 1, ...,N, kde N je maximální požadovaná doba do splatnosti.

(ii) Tyto sazby převedeme na ročně úročené sazby – pro dobu do splatnosti <i>t</i> vypočteme rt = eYt - 1.

(iii) Spočteme diskontní faktor DFt = (1 + rt)-t pro 1, ..., N.

(iv) Určíme akumulační diskontní faktor ADFt = Σti=1DFi pro 1, ...,N.

(v) Kupónovou sazbu na dobu t pak dostaneme jako ct = (1 - DFt) / ADFt.

(vi) Takto spočtenou sazbu porovnáme se sazbou pozorovanou na trhu a vhodnou úpravou parametrů β0, β1, β2 a γ provedeme minimalizaci vážených reziduálních čtverců s cílem získat nejlepší přiblížení modelovaných a pozorovaných kupónových sazeb:

,

kde Λ = { 1, 2...10, 12, 15, 20}

4. Bootstrap a odvození forwardové křivky

4.1. Pro odvození finální (forwardové) bezrizikové křivky použijeme pozorované hodnoty ctM pro t = 1, ..., 5 a pro vyšší t použijeme dopočtené hodnoty ct.

4.2. Potřebujeme znát postup přepočtu kupónových sazeb na sazby bezkupónové. Tato metoda se nazývá bootstrap a je následující:

(i) ADF'0 = 0

(ii) Postupně pro t = 1, ..., 5 spočteme z pozorovaných sazeb ctM:

DF´t = (1 - ctM ADF´t-1)/(1 + ctM)

ADF´t = DF´t + ADF´t-1

(iii)      Pak pro 6, ...,  spočteme z dopočtených sazeb ct:

DF´t = (1 - ct ADF´t-1)/(1 + ct)

ADF´t = DF´t + ADF´t-1

(iv) Výsledné bezkupónové sazby dostaneme jako r´t = DFt´(-1/t) - 1 pro t = 1, ... N.

(v) Z takto získaných sazeb spočteme jednoleté forwardové sazby dle vzorce:

ft-1,1 = DF´t-1/DFt´ - 1 pro t = 2,... N.

  

5. Reference

[1] C. R. Nelson a A. F. Siegel: Parsimonious modelling of yield curves, Journal of Business, 60, No. 4, 473-89, 1987.

[2] J. Šrámek: Výnosové křivky, Seminář z aktuárských věd 2003/04, Matfyzpress, 2004